الاشتقاق الضمني 📐
دليلك التفاعلي الشامل لفهم واحتراف الاشتقاق الضمني خطوة بخطوة، مع أمثلة تطبيقية محلولة، وتوضيح لكيفية التعامل مع الدوال المتداخلة وإيجاد معادلات المماس بدقة وهدوء.
1 أولًا: لماذا نحتاج إلى الاشتقاق الضمني؟
في بعض المسائل تكون العلاقة بين المتغيرين س وص مكتوبة بطريقة لا يكون فيها ص منفردًا في طرف المعادلة.
هذه العلاقة تربط بين س وص، ولكنها ليست مكتوبة في الصورة الصريحة:
يمكن أحيانًا إيجاد ص بدلالة س، ولكن ذلك قد يصبح معقدًا جدًا في بعض المعادلات.
2 ثانيًا: مفهوم الاشتقاق الضمني
وهنا يجب الانتباه إلى أن أي حد يحتوي على ص يحتاج إلى التعامل معه باعتبار ص متغيرًا يعتمد على س.
📌 تذكر القواعد الأساسية:
لأن ص دالة في س، فمشتقة المتغير ذاته تعطي المشتقة الأولى مباشرة.
طبقنا قاعدة اشتقاق القوس/القوة، ثم ضربنا في مشتقة ما بداخل القوس $\frac{دص}{دس}$.
وهذا يعتمد كلياً على قاعدة السلسلة (Chain Rule).
3 ثالثًا: خطوات الاشتقاق الضمني
لإيجاد $\frac{دص}{دس}$ نتبع الخطوات المنظمة الآتية بالتسلسل:
نشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى س.
عند اشتقاق حد يحتوي على ص، نطبق قاعدة السلسلة ونضيف العامل: $\frac{دص}{دس}$
إذا ظهر حاصل ضرب بين س و ص، نستخدم قاعدة الضرب: (الأولى × مشتقة الثانية + الثانية × مشتقة الأولى).
نجمع جميع الحدود التي تحتوي على $\frac{دص}{دس}$ في طرف واحد، وباقي الحدود في الطرف الآخر.
نخرج $\frac{دص}{دس}$ عاملًا مشتركًا من الطرف الذي يحتوي عليها.
نقسم طرفي المعادلة على القوس المضروب في المشتقة لإيجاد قيمة $\frac{دص}{دس}$ في أبسط صورة.
4 أمثلة تطبيقية محلولة خطوة بخطوة
الحل بالتفصيل:
بشرط: $ص \neq 0$
الحل بالتفصيل:
مشتقة $س^3$ هي: $3س^2$
أما الحد $4سص$ فنستخدم قاعدة الضرب:
$$\frac{د}{دس}(4سص) = 4\left(ص + س \frac{دص}{دس}\right) = 4ص + 4س \frac{دص}{دس}$$وكذلك مشتقة $ص^3$ هي:
$$\frac{د}{دس}(ص^3) = 3ص^2 \frac{دص}{دس}$$بشرط: $4س + 3ص^2 \neq 0$
الحل النموذجي في 4 مراحل:
نعوض بـ $س = 3$ ، $ص = 3$ في طرفي المعادلة:
الطرف الأيمن: $3^3 + 3^3 = 27 + 27 = 54$
الطرف الأيسر: $6(3)(3) = 54$
✅ إذن النقطة $(3، 3)$ تقع على المنحنى وتحقق معادلته.
نشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى س:
$$\frac{د}{دس}(س^3) + \frac{د}{دس}(ص^3) = \frac{د}{دس}(6سص)$$ $$3س^2 + 3ص^2 \frac{دص}{دس} = 6\left(ص + س \frac{دص}{دس}\right)$$ $$3س^2 + 3ص^2 \frac{دص}{دس} = 6ص + 6س \frac{دص}{دس}$$نجمع حدود المشتقة في طرف واحد:
$$3ص^2 \frac{دص}{دس} - 6س \frac{دص}{دس} = 6ص - 3س^2$$ $$\frac{دص}{دس}(3ص^2 - 6س) = 6ص - 3س^2$$ $$\frac{دص}{دس} = \frac{6ص - 3س^2}{3ص^2 - 6س}$$وبالقسمة بسطاً ومقاماً على 3:
$$\boxed{\frac{دص}{دس} = \frac{2ص - س^2}{ص^2 - 2س}}$$نعوض بالنقطة $(3، 3)$ في المشتقة:
$$م = \frac{2(3) - 3^2}{3^2 - 2(3)}$$ $$م = \frac{6 - 9}{9 - 6} = \frac{-3}{3} = -1$$ $$\boxed{م = -1}$$نستخدم قانون معادلة الخط المستقيم:
$$ص - ص_1 = م(س - س_1)$$وبما أن $(س_1، ص_1) = (3، 3)$ و $م = -1$ :
$$ص - 3 = -1(س - 3)$$ $$ص - 3 = -س + 3$$ $$ص = -س + 6$$5 رابعًا: المماس الأفقي والرأسي
بعد إيجاد $\frac{دص}{دس}$ يمكننا استخدام المشتقة للتعرف على نوع المماس وسلوكه الهندسي:
المماس الأفقي (Horizontal Tangent)
يكون المماس أفقيًا عندما يكون ميله مساويًا للصفر:
وعندما تكون المشتقة في صورة كسر، فإن ذلك يحدث عادةً عندما:
المماس الرأسي (Vertical Tangent)
يكون المماس رأسيًا عندما تكون المشتقة غير معرّفة (الميل عمودي يوازي محور الصادات):
وعندما تكون المشتقة في صورة كسر، فإن ذلك يحدث عادةً عندما:
إذا أصبح البسط والمقام معًا يساويان صفرًا ($\frac{0}{0}$)، فلا يمكننا الحكم مباشرةً على نوع المماس، بل نحتاج إلى فحص النقطة وسلوك المنحنى بطريقة أخرى.
6 خامسًا: المشتقة الثانية
يمكن أيضًا إيجاد المشتقة الثانية:
عن طريق اشتقاق $\frac{دص}{دس}$ مرة أخرى بالنسبة إلى س، مع استخدام قيمة $\frac{دص}{دس}$ بالتعويض عنها عند الحاجة لتبسيط الناتج النهائي.
7 أهم المصطلحات والمفاهيم
| المصطلح | معناه ودوره في التفاضل |
|---|---|
| الاشتقاق الضمني | إيجاد المشتقة من العلاقة المعطاة دون عزل ص في طرف بمفردها. |
| العلاقة الضمنية | علاقة تربط بين س و ص دون كتابة ص بمفردها. |
| الصورة الصريحة | كتابة ص بدلالة س مباشرة ($ص = د(س)$). |
| قاعدة السلسلة | تستخدم عند اشتقاق الدوال المركبة، ومنها الحدود التي تحتوي على المتغير ص. |
| قاعدة الضرب | تستخدم عند اشتقاق حاصل ضرب دالتين: (الأولى × مشتقة الثانية + الثانية × مشتقة الأولى). |
| المماس | المستقيم الذي يلامس المنحنى عند نقطة معينة، وميله يساوي قيمة المشتقة عند النقطة عندما تكون المشتقة معرفة. |
8 أخطاء شائعة يجب تجنبها ⚠️
لا تحاولي حفظ خطوات الاشتقاق الضمني كخطوات منفصلة ومجردة فقط. ركزي
على فهم سبب ظهور $\frac{دص}{دس}$ عند اشتقاق الحدود
التي تحتوي على ص، وهو أن
ص دالة متغيرة في س.
ومع حل عدة مسائل بيدك، ستجدين أن الفكرة أصبحت سهلة وتلقائية جدًا:
الاشتقاق الضمني في نقاط موجزة:
هو طريقة مباشرة لإيجاد $\frac{دص}{دس}$ دون الحاجة إلى جعل ص في طرف بمفردها.
أهم ما يجب تذكره دائمًا:
- نشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى س.
-
عند اشتقاق حد يحتوي على ص نستخدم قاعدة السلسلة: $$\frac{د}{دس}(ص^ن) = ن ص^{ن-1}\frac{دص}{دس}$$
-
عند وجود حاصل ضرب مثل (س ص) نستخدم قاعدة الضرب: $$\frac{د}{دس}(سص) = ص + س\frac{دص}{دس}$$
- نجمع حدود $\frac{دص}{دس}$ في طرف واحد.
- نخرج $\frac{دص}{دس}$ عاملًا مشتركًا.
- نحل بالقسمة لإيجاد قيمة المشتقة.
- لإيجاد ميل المماس عند نقطة، نعوض بإحداثيات النقطة في المشتقة بعد التأكد من انتمائها للمنحنى.